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INTRODUÇÃO À FUNÇÕES

Estudando as Relações que são Funções

Considere as seguintes situações.

1. O preço de venda de um certo ítem de um loja depende de quanto ele custa.
2. A altura de uma árvore depende da sua idade.
3. O tempo que um carro leva para ir de uma cidade a outra depende da velocidade que ele desenvolve.

Em cada situação, o valor de uma quantidade depende do valor de uma segunda quantidade. Se as quantidades forem variáveis, então uma delas seria dependente do valor da outra. Quando o valor da variável independente (x) é conhecido, o valor da variável dependente (y) pode ser encontrado. O conjunto de todos os valores possíveis para x é denominado domínio e o conjunto de todos os resultados de y é denominado imagem.

Na situação 1 , o custo do item (c) é a variável independente e o preço de venda (p) é a variável dependente.

    Identifique a variável independente e a variável dependente para cada situação.
a) 2
    variável independente: idade
    variável dependente: altura

b) 3
variável independente:
variável dependente:

Uma função é uma correspondência que associa a um valor do domínio a um único valor na imagem. Numa relação funcional, há somente um valor para a variável dependente, y, associada com qualquer valor da variável independente, x.

A área de um círculo é uma função do seu raio. Para todos os números positivos reais no domínio desta função, somente um valor correspondente é associado a sua área.

Explique por que o domínio são todos os números reais positivos.

Um círculo não existe se seu raio for negativo. Se seu raio for zero, então ele seria um ponto.

Qual a sua imagem correspondente?

Explique se a área de um quadrado é ou não uma função do tamanho dos seus lados.

Sendo a área do quadrado determinada pelo tamanho dos seus lados, a área é uma função do tamanho deles.

Por exemplo, a área de um quadrado ( a função que iremos chamar de Área ) quando x vale 4 cm é mostrada abaixo.

[Maple Math]
, ou com o Maple

> Área:=x^2;

> subs(x=4,Área);

Substitua o tamanho dos lados por 5 cm, 2,3 cm e cm na questão acima para determinar a área do quadrado.

Confira seus cálculos

Qual é o domínio da função Área?

Qual é a imagem de Área ?

A área de um quadrado pode também ser representada usando tabelas de valores.

x y = x ²

0 0

0.5 0.25

1 1

1.5 2.25

2 4

2.5 6.25

3 9

3.5 12.25

4 16

4.5 20.25

5 25

5.5 30.25

6 36

Note que cada valor de x produz somente um valor de y.

Em cada um dos seguintes grupos de números, a primeira coluna representa valores de x e a segunda representa valores de y .

Determine se cada um dos grupos representa ou não uma função.
a)

Não é uma função, pois há dois valores de y para um valor de x.

Exemplo:

Ellen trabalha no Departamento de Recebimentos dos Correios e recebe R$ 8,00 por hora.

Determine a variável independente.
número de horas trabalhadas

Determine a variável dependente.
salário

Defina a função do salário de Ellen e responda às perguntas :

n = total de horas trabalhadas

, pelo Maple

> salário:=8*n;

Ache quanto Ellen ganha por semana para cada total de horas trabalhadas

a) 35 horas

> subs(n=35,salário);

b) 22.5 horas

c) 40 horas

Verifique sua resposta

Determine se há ou não algum valor tal que a função seja indefinida.

"Salário" é indefinida para todos os números reais negativos.

Reconhecendo Funções Graficamente

Examine os gráficos abaixo.

a) [Maple Math]

> plot(x^3-2*x^2-3*x,x=-2..4,y=-7..8,color=green);

[Maple Plot]

    b) [Maple Math]
    > with(plots):
    > implicitplot(x^2+y^2 = 4,x=-3..3,y=-3..3,color=cyan);

[Maple Plot]

O gráfico de (a) é de uma função, pois cada valor de x é associado com somente um valor de y.
O gráfico de (b) não é uma função, pois há dois valores de y para um valor de x dado.

O teste da reta vertical é uma maneira rápida de dizer se o gráfico é ou não uma função. Se uma reta vertical tem mais de um ponto em comum num gráfico, então ele não representa uma função. Se cada reta vertical possui somente um ponto em comum, então o gráfico representa uma função.

Considere o gráfico de uma função linear.

> plot(3*x-1,x=-3..3,color=magenta);

[Maple Plot]

Qualquer reta vertical traçada no gráfico irá interceptar o desenho em somente um ponto. O domínio e a imagem desta função linear são todos números reais.

O domínio da função traçada abaixo é D = [ - 2, 2]. A imagem da função é I = [0, 2].